Jacob Bernoulli e la banca

E’ il 1683, siamo in Svizzera. Jacob Bernoulli esce tutti i giorni di casa, e dopo un’ora è di ritorno. Sua moglie comincia a seguirlo per capire dove vada, le vicine sono piuttosto piacenti, e lei è un po’ gelosa, vuole bene a quell’uomo che ha la testa sulle nuvole – fa il matematico – e le dispiacerebbe scoprire che va in cerca di altre. Quando scopre che tutti i giorni va in banca, si rincuora, uno svizzero deve per forza avere buoni rapporti con le banche. Una sera gli dice “Jacob, ho visto che esci ogni giorno per andare in banca, come mai?”. “Cara”, dice Jacob, “ho depositato 100 fiorini in banca con quel nuovo sistema dell’interesse composto, se tolgo e rimetto tutti i soldi più gli interessi ogni giorno, alla fine facciamo un sacco di soldi!”. “Jacob, sei proprio un tontolone, sarai un matematico ma di soldi non capisci niente”. “??”. “Sì caro, anche se la banca ti dà l’interesse del 100% l’anno, anche se vai ogni secondo a ricapitalizzare, non ti darà mai più di 270 fiorini”. Jacob a quel punto fa i calcoli, scopre che sua moglie aveva ragione, e scopre anche un numero che più tardi non porterà il suo nome ma quello di un altro svizzero, Eulero. Povero Jacob.

Interesse semplice

L’accordo con la banca prevede che una somma S lasciata in banca per 1 anno frutti I = S\times i , i \in (0, \infty) \subset \mathbb{R} dove i è l’interesse annuale. Se i=0.01 (1\%), depositando 100€ dopo un anno la banca ritorna di interessi 1€ ( I = 100\times 0.01 = 1 ).

La banca restituisce M, il montante: M = S + I.

Interesse composto

L’interesse composto è un regime secondo il quale gli interessi prodotti da un investimento vengono capitalizzati. Vengono cioè aggiunti al capitale iniziale, contribuendo così alla maturazione di nuovi interessi. L’accordo prevede che gli interessi maturino per frazioni di anno, sempre all’interesse i. Quando è passata la frazione dell’anno, la somma maturata si ricapitalizza, ovvero si applica l’interesse su quanto maturato fino a quel punto.

Interesse composto, in un anno

Vediamo come l’incremento di capitale dipende dal numero di volte in cui ricapitalizza in un anno, indichiamolo con n\in\mathbb{N}.

M(k) con la successione k=(0, \dots,n), k\in\mathbb{N} è l’andamento nel tempo del montante:

    \[M(0)=S \]

    \[\forall k>0 \, , \, M(k)=\underbrace{M(k-1)}_{\text{la somma accumulata all'inizio dell'intervallo}}+\underbrace{M(k-1)\times i\times\frac{1}{n}}_{\text{l'interesse che si accumula nell'intervallo}}\]

Raccogliendo M(k-1),

    \[\forall k>0 \, , \, M(k)=M(k-1)\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)\]

Quindi:

    \[M(0)=S\]

    \[M(1)=M(0)\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)=S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)\]

    \[M(2)=M(1)\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)=S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right) = S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^2 \]

    \[M(3)=M(2)\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right) = S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^2\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)= S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^3 \]

    \[\dots\]

    \[M(k) = S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^k \]

    \[\dots\]

    \[M(n) = S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^n \]

Interesse composto, in più anni

Supponiamo di lasciare la somma S in banca per T \in \mathbb{N} anni. Ogni anno si ricapitalizza n volte, sempre all’interesse i. \mathcal{M}(k) con la successione k=(0, \dots,n), k\in\mathbb{N} è l’andamento negli anni del montante:

    \[\mathcal{M}(0)=S \]

    \[\mathcal{M}(1)=S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^n \]

    \[\forall k>1 \, , \, \mathcal{M}(k)=\mathcal{M}(k-1)}\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^n \]

    \[\mathcal{M}(2)=S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^n \times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^n = S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^{2n}\]

    \[\dots\]

    \[\mathcal{M}(T)=S\times\left( 1+i\times\frac{1}{n}\right)^{Tn}\]

Il caso di Jacob

Adesso, vediamo i calcoli che ha fatto Jacob. Nel suo caso, la banca dava un interesse del 100% all’anno (evidentemente conosceva il banchiere), e lo lasciava tenere i soldi per un anno. In questo caso, T=1, i=1. Applichiamo l’interesse composto e vediamo come cambia il montante in funzione di n, ovvero di quante volte Jacob va in banca a ricapitalizzare in un anno.

    \[M(1) = S\times\left( 1+\frac{1}{1}\right)^1= S \times 2\]

    \[M(2) = S\times\left( 1+\frac{1}{2}\right)^2= S \times 2,25\]

    \[M(3) = S\times\left( 1+\frac{1}{3}\right)^3= S \times 2,37037037\dots\]

    \[\dots\]

    \[M(6) = S\times\left( 1+\frac{1}{6}\right)^6= S \times 2,52162637\dots\]

    \[\dots\]

    \[M(100) = S\times\left( 1+\frac{1}{100}\right)^{100}= S \times 2,70481383\dots\]

    \[\dots\]

    \[M(1000) = S\times\left( 1+\frac{1}{1000}\right)^{1000}= S \times 2,71692393\dots\]

Si vede che man mano che aumentiamo il numero delle volte in cui capitalizziamo, il numero per il quale moltiplichiamo la somma iniziale montante cambia sempre di meno, e sembra avvicinarsi a una costante. Nel 1683, Jacob ha dovuto dare ragione a sua moglie, ha dimostrato che è vero, ovvero in linguaggio matematico ha dimostrato che

    \[ \exists c\in \mathbb{R} | \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n = c\]

I calcoli di Jacob mostrano che c = 2,71828183\dots , che si sarebbe poi chiamato il Numero di Eulero, ovvero la costante matematica e. Ma questa è un’altra (affascinante) storia.



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